Mohl byste vysvětlit rozdíl mezi vektorovými rovnicemi, parametrickými rovnicemi a kartézskými rovnicemi?


Odpověď 1:

Použiju rovnici letadla

R3\R^3

jako příklad.

Nejobecnější rovnice letadla v kartézské podobě je

ax+by+cz=0ax+by+cz=0

Toto je pouze algebraická rovnice. karteziánské rovnice jsou pouze vícerozměrné polynomy (ne naopak). Pokud byste analyzovali množinu nul této rovnice a graf těchto nul v

R3\R^3

, pak dostanete letadlo.

Rovnice vektoru roviny je

x=v0+sv1+tv2,s,tR\vec{x}=\vec{v_0}+s\vec{v_1}+t\vec{v_2},\:\:\:\:s,t\in\R

[xyz]=[x0y0z0]+s[v1v2v3]+t[w1w2w3]\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}

Toto je jen rovnice zahrnující vektory. Tady

v0\vec{v_0}

je bod v rovině a

v1\vec{v_1}

a

v2\vec{v_2}

jsou směrové vektory (dva lineárně nezávislé vektory, které leží v rovině). Druhá rovnice je pouze vektorová rovnice rozšířená v maticové formě pomocí souřadnic vektorů s ohledem na standardní základ

R3\R^3

(i^,j^,k^)(\hat{i},\hat{j},\hat{k})

.

Parametrická rovnice roviny je následující

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3\begin{cases}x=x_0+sv_1+tw_1\\ y=y_0+sv_2+tw_2\\ z=z_0+sv_3+tw_3\end{cases}

Popisuje každou souřadnici jako funkci dvou parametrů

ss

a

tt

.