Existuje skutečný koncepční rozdíl mezi racionálními a iracionálními čísly nebo jsou rozdíly artefaktem našeho systému číslování?


Odpověď 1:

Koncepční rozdíl mezi nimi je obrovský. Racionální čísla jsou definována čistě algebraicky: začnete kruhem celých čísel (což je nejmenší kroužek, ve kterém je prvek nekonečného řádu - jmenovitě číslo 1) a vezmete pole jeho zlomků. Toto je konečný, čistě algebraický postup. Nejsou vyžadovány žádné koncepty analýzy (jako jsou limity, konvergence atd.). K definování reálných čísel však potřebujeme analýzu. Konkrétně potřebujeme pojem „metrika“ v poli reálných čísel (což je matematická formalizace pojmu vzdálenost) a pojem „dokončení pole s ohledem na metriku“. Sada reálných čísel je definována jako dokončení pole racionálních čísel vzhledem k standardní (archimedeanské) metrice. Konkrétněji se jedná o množinu tříd ekvivalence „Cauchyho sekvencí“ racionálních čísel ve vztahu ke standardní metrice (ve skutečnosti je to pole).

Sada racionálních čísel je přirozeně zahrnuta do množiny reálných čísel: každé racionální číslo x dává konstantní Cauchyovu sekvenci (x, x, x, x,…). Doplňkem množiny racionálních čísel v množině reálných čísel je množina nazvaná množina iracionálních čísel. Konkrétně můžeme každé reálné číslo reprezentovat v desítkové podobě. Toto je pouze zvláštní způsob, jak zaznamenat Cauchyovu sekvenci tohoto čísla (jmenovitě Cauchyova sekvence odpovídající desetinné reprezentaci reálného čísla je sekvence prvních n číslic pro všechny n). Samotný pojem reálných čísel (a tedy iracionálních čísel) však nemá nic společného s konkrétním způsobem reprezentace čísel. Například bychom mohli použít binární formulář nebo jakýkoli jiný „základní k“ formulář. To je jen otázka reprezentace. Koncept reálného čísla je definován nezávisle na jakémkoli konkrétním znázornění.

Jakmile se podíváte na tuto definici, je zřejmé, jak ohromně propracovanější iracionální čísla jsou než racionální čísla. Racionální a iracionální čísla NEJSOU dvě strany téže mince v žádném smyslu. Například první sada je spočitatelná a druhá není (toto je závěr slavného Cantorova úhlopříčného argumentu). Racionální čísla tvoří pole (je podpolí pole reálných čísel), ale iracionální čísla ne.

Chci také zmínit, že tyto dva pojmy mají v matematice mnoho protějšků. Můžeme začít jakýmkoli prstenem místo prstem celých čísel; například, prsten gaussovských celých čísel (a + bi), kde i je druhá odmocnina -1, a vezme si své pole zlomků. Poté můžeme v tomto poli zavést metriku a provést její dokončení. V případě gaussovských celých čísel, vezmeme-li standardní (archimedean) metriku, získáme jako doplněk pole komplexních čísel. Existuje ještě jedna zobecnění: kromě archimedovské metriky na poli racionálních čísel (nebo pole zlomků jiného prstence, jako je prsten gaussovských celých čísel) existují i ​​další metriky. Například pro pole racionálních čísel existují tzv. P-adické metriky pro každé prvočíslo p. Dokončení pole racionálních čísel s ohledem na p-adic metriku se nazývá pole p-adic čísel. Studium je stejně zajímavé jako pole skutečných a komplexních čísel a za posledních 100 let došlo v této oblasti k velkému výzkumu. Vaše otázka nás tedy vede k některým skutečně fascinujícím nápadům a konstrukcím. (Pro více informací, jen Google, pojmy, které jsem zdůraznil výše.)


Odpověď 2:

Ano.

Jakmile je definujete, jsou docela odlišné. Racionální čísla jsou ta čísla, která lze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel. Iracionální čísla jsou čísla, která nemohou. Je snazší počítat a manipulovat s libovolným racionálním číslem a manipulovat s ním, protože jakmile vím, že ho mám, můžu si ho zapsat způsobem, který lze sčítat, násobit, odčítat a dělit. Iracionalisté se tak moc nechovají.

Skutečnost, že mají multiplikativní inversy, z nich dělá pole. V rámci výše uvedených operací jsou také uzavřeny. Můžete znásobit dvě iracionální čísla a skončit racionálním - iracionální krvácí tak, jak to racionální ne.

Navíc se jejich nekonečnosti cítí (a skutečně jsou) docela odlišné. Jedním z nich je uchopitelná, představitelná, téměř viditelná nekonečno počtů čísel a druhým je nepochopitelná hustota kontinua.

Jsem si jistý, že jich je víc; moje znalosti jsou omezené, ale ty jsou nejzřetelnější.


Odpověď 3:

Ano.

Jakmile je definujete, jsou docela odlišné. Racionální čísla jsou ta čísla, která lze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel. Iracionální čísla jsou čísla, která nemohou. Je snazší počítat a manipulovat s libovolným racionálním číslem a manipulovat s ním, protože jakmile vím, že ho mám, můžu si ho zapsat způsobem, který lze sčítat, násobit, odčítat a dělit. Iracionalisté se tak moc nechovají.

Skutečnost, že mají multiplikativní inversy, z nich dělá pole. V rámci výše uvedených operací jsou také uzavřeny. Můžete znásobit dvě iracionální čísla a skončit racionálním - iracionální krvácí tak, jak to racionální ne.

Navíc se jejich nekonečnosti cítí (a skutečně jsou) docela odlišné. Jedním z nich je uchopitelná, představitelná, téměř viditelná nekonečno počtů čísel a druhým je nepochopitelná hustota kontinua.

Jsem si jistý, že jich je víc; moje znalosti jsou omezené, ale ty jsou nejzřetelnější.


Odpověď 4:

Ano.

Jakmile je definujete, jsou docela odlišné. Racionální čísla jsou ta čísla, která lze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel. Iracionální čísla jsou čísla, která nemohou. Je snazší počítat a manipulovat s libovolným racionálním číslem a manipulovat s ním, protože jakmile vím, že ho mám, můžu si ho zapsat způsobem, který lze sčítat, násobit, odčítat a dělit. Iracionalisté se tak moc nechovají.

Skutečnost, že mají multiplikativní inversy, z nich dělá pole. V rámci výše uvedených operací jsou také uzavřeny. Můžete znásobit dvě iracionální čísla a skončit racionálním - iracionální krvácí tak, jak to racionální ne.

Navíc se jejich nekonečnosti cítí (a skutečně jsou) docela odlišné. Jedním z nich je uchopitelná, představitelná, téměř viditelná nekonečno počtů čísel a druhým je nepochopitelná hustota kontinua.

Jsem si jistý, že jich je víc; moje znalosti jsou omezené, ale ty jsou nejzřetelnější.